Родился 16 августа 1928 года в Москве. Закончил Московское художественное училище "Памяти 1905 года" (1949), Ленинградское высшее художественно-промышленное училище им.В.И.Мухиной (1957).
   Работал художником в Чкаловском театре драмы и комедии, главным художником Гусевского хрустального завода.
   С 1962 г. живет в Иркутске. Преподавал в Иркутском художественном училище до 1972 г.
   Член Союза художников с 1964 г., в разные годы возглавлял Иркутскую организацию СХ России. Участвовал в областных, зональных, республиканских, всесоюзных выставках с 1957 г. За рубежом его работы выставлялись в США, Польше, Германии, Финляндии, Греции, Югославии, Марокко, Австрии, Корее, Эфиопии, Канаде, Венгрии, Болгарии, Монголии, других странах. Награжден медалями "За доблестный труд", "За трудовую доблесть", юбилейными медалями, дипломами Министерства культуры, Почетными грамотами Союза художников, премией областного комитета по культуре.
   Заслуженный художник России. Член-корреспондент Российской академии художеств.
   Красоту, творимую руками и талантом художника, его витражи, панно, декоративные вазы можно увидеть в залах гостиниц, ресторанов, музеев Иркутска и многих других городов. Люстры из цветного стекла и хрусталя украшают фойе и зал Музыкального театра, создавая праздничное настроение. Борис Бычков - автор мемориальных досок Владимиру Высоцкому и художнику Аркадию Вычугжанину, многих композиций, где используется сложная техника, красивые материалы.
   Любимое занятие вне работы - поездки на моторной лодке по Ангаре и Байкалу.
   Жена, Ирина Александровна, преподает в художественном училище в течении 30 лет. У Бычковых сын, дочь и три внука.